次の関数を微分せよ。 (1) $y = x^{-3}$ (2) $y = \sqrt[3]{x}$ (3) $y = \frac{1}{x^{4}}$ (4) $y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ (5) $y = \frac{x^2 + x + 1}{x}$ (6) $y = \frac{x^2 + x + 1}{\sqrt{x}}$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = x^{-3}$

(2) $y = \sqrt[3]{x}$

(3) $y = \frac{1}{x^{4}}$

(4) $y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

(5) $y = \frac{x^2 + x + 1}{x}$

(6) $y = \frac{x^2 + x + 1}{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^{-3}$

べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を用いる。

$y' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$

(2) $y = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$

べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を用いる。

$y' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

(3) $y = \frac{1}{x^{4}} = x^{-4}$

べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を用いる。

$y' = -4x^{-4-1} = -4x^{-5}$

(4) $y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$

べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を用いる。

$y' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

(5) $y = \frac{x^2 + x + 1}{x} = x + 1 + \frac{1}{x} = x + 1 + x^{-1}$

べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を用いる。

$y' = 1 - x^{-2}$

(6) $y = \frac{x^2 + x + 1}{\sqrt{x}} = \frac{x^2 + x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$

べき関数の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を用いる。

$y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -3x^{-4}$

(2) $y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

(3) $y' = -4x^{-5}$

(4) $y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

(5) $y' = 1 - x^{-2}$

(6) $y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$