$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く問題です。 (1) $2\sin^2\theta - 4 < 5\cos\theta$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く問題です。

(1) $2\sin^2\theta - 4 < 5\cos\theta$

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2\theta$ を $1-\cos^2\theta$ で置き換えます。

$2(1-\cos^2\theta) - 4 < 5\cos\theta$

$2 - 2\cos^2\theta - 4 < 5\cos\theta$

$-2\cos^2\theta - 5\cos\theta - 2 < 0$

両辺に-1を掛けて不等号の向きを変えます。

$2\cos^2\theta + 5\cos\theta + 2 > 0$

ここで、$\cos\theta = x$ とおくと、

$2x^2 + 5x + 2 > 0$

$(2x + 1)(x + 2) > 0$

$x < -2$ または $x > -\frac{1}{2}$

$\cos\theta < -2$ または $\cos\theta > -\frac{1}{2}$

$\cos\theta < -2$ は解なし。

したがって、$\cos\theta > -\frac{1}{2}$ を解く。

単位円で考えると、$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{2}{3}\pi$ と $\theta = \frac{4}{3}\pi$

したがって、$\cos\theta > -\frac{1}{2}$ となるのは、

$0 \le \theta < \frac{2}{3}\pi$ または $\frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

$0 \le \theta < \frac{2}{3}\pi$ または $\frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi$