関数 $f(x) = \sin^{-1} \frac{x}{2}$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin^{-1} \frac{x}{2}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1} x$ の微分公式は、

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

です。

今回の問題では、$\sin^{-1} \frac{x}{2}$ を微分する必要があるため、合成関数の微分を行います。

$u = \frac{x}{2}$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}$ です。

したがって、

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} \frac{x}{2} = \frac{d}{du} \sin^{-1} u \cdot \frac{du}{dx}$

$= \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2}} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}}$

$= \frac{1}{2\sqrt{\frac{4 - x^2}{4}}}$

$= \frac{1}{2\frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}}$

$= \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$