与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 10^3}{5x^2 + 6x - 1} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 10^3}{5x^2 + 6x - 1}

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2. 解き方の手順

$x \to \infty$ のときの極限を求めるためには、分子と分母を$x^2$で割ります。

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\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 1000}{5x^2 + 6x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{1000}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{6x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}

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これにより、

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\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1000}{x^2}}{5 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}}

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$x \to \infty$ のとき、$\frac{1000}{x^2} \to 0$, $\frac{6}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$ となるので、

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\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1000}{x^2}}{5 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}} = \frac{3 - 0}{5 + 0 - 0} = \frac{3}{5}

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3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$