不等式 $2\cos^2\theta \leq \sin\theta + 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $2\cos^2\theta \leq \sin\theta + 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2\theta$ を $\sin\theta$ で表します。三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ です。これを不等式に代入すると、

$$2(1 - \sin^2\theta) \leq \sin\theta + 1$$

となります。これを整理します。

$$2 - 2\sin^2\theta \leq \sin\theta + 1$$

$$0 \leq 2\sin^2\theta + \sin\theta - 1$$

$x = \sin\theta$ とおくと、

$$2x^2 + x - 1 \geq 0$$

この2次不等式を解きます。まず、2次方程式 $2x^2 + x - 1 = 0$ を解きます。因数分解すると、

$$(2x - 1)(x + 1) = 0$$

よって、$x = \frac{1}{2}$ または $x = -1$ です。

したがって、2次不等式 $2x^2 + x - 1 \geq 0$ の解は $x \leq -1$ または $x \geq \frac{1}{2}$ です。

ここで、$x = \sin\theta$ なので、$\sin\theta \leq -1$ または $\sin\theta \geq \frac{1}{2}$ です。

$\sin\theta$ の取りうる値の範囲は $-1 \leq \sin\theta \leq 1$ なので、$\sin\theta \leq -1$ は $\sin\theta = -1$ のときにのみ成立します。

$\sin\theta = -1$ のとき、$\theta = \frac{3}{2}\pi + 2n\pi$ （$n$は整数）です。

また、$\sin\theta \geq \frac{1}{2}$ のとき、$0 \leq \theta < 2\pi$ において、$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5}{6}\pi$ となります。一般角で表すと、$\frac{\pi}{6} + 2n\pi \leq \theta \leq \frac{5}{6}\pi + 2n\pi$ （$n$は整数）となります。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{3}{2}\pi + 2n\pi$ または $\frac{\pi}{6} + 2n\pi \leq \theta \leq \frac{5}{6}\pi + 2n\pi$ （$n$は整数）