$e^x$のマクローリン展開を利用して、関数 $f(x) = e^{x^2+1}$ のマクローリン展開を求める問題です。

1. 問題の内容

$e^x$のマクローリン展開を利用して、関数 $f(x) = e^{x^2+1}$ のマクローリン展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

$e^x$のマクローリン展開は、

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$

です。

関数 $f(x) = e^{x^2+1}$は、$e^{x^2+1} = e \cdot e^{x^2}$と書き換えられます。したがって、$e^{x^2}$のマクローリン展開を求め、それに$e$を掛ければよいです。

$e^{x^2}$のマクローリン展開は、$e^x$のマクローリン展開の$x$を$x^2$に置き換えることで得られます。

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{(x^2)^2}{2!} + \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^4}{4!} + \cdots$

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \frac{x^8}{4!} + \cdots$

したがって、$e^{x^2+1} = e \cdot e^{x^2}$のマクローリン展開は、

$e^{x^2+1} = e \cdot (1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \frac{x^8}{4!} + \cdots)$

$e^{x^2+1} = e + ex^2 + \frac{e}{2!}x^4 + \frac{e}{3!}x^6 + \frac{e}{4!}x^8 + \cdots$

したがって、与えられた選択肢の中から一致するものを探すと、選択肢3が一致します。

3. 最終的な答え

3