4点O(0,0), P(3,0), Q(2.5,2), R(0.5,2)を頂点とする台形の左回りの周をCとするとき、以下の線積分を求めます。 $\oint_C (2x+5y+20)dx + (3x+2y+10)dy$

1. 問題の内容

4点O(0,0), P(3,0), Q(2.5,2), R(0.5,2)を頂点とする台形の左回りの周をCとするとき、以下の線積分を求めます。

$\oint_C (2x+5y+20)dx + (3x+2y+10)dy$

2. 解き方の手順

この線積分を解くために、グリーンの定理を利用します。グリーンの定理は、平面領域Dの境界C（正の向き）に沿った線積分を、領域D上の二重積分に変換するものです。グリーンの定理は以下の通りです。

$\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dA$

ここで、

$P = 2x + 5y + 20$

$Q = 3x + 2y + 10$

であるため、偏微分を計算します。

$\frac{\partial P}{\partial y} = 5$

$\frac{\partial Q}{\partial x} = 3$

したがって、

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3 - 5 = -2$

したがって、線積分は以下の二重積分に変換されます。

$\oint_C (2x+5y+20)dx + (3x+2y+10)dy = \iint_D (-2)dA = -2 \iint_D dA$

ここで、$\iint_D dA$は領域Dの面積を表します。領域Dは4点O(0,0), P(3,0), Q(2.5,2), R(0.5,2)を頂点とする台形です。台形の面積は、上底と下底の長さの平均に高さをかけたものです。

上底の長さは、RQ = 2.5 - 0.5 = 2

下底の長さは、OP = 3

高さは、2

したがって、台形の面積は、

$A = \frac{1}{2}(2 + 3) \times 2 = 5$

よって、

$\iint_D dA = 5$

したがって、求める線積分の値は、

$-2 \iint_D dA = -2 \times 5 = -10$

3. 最終的な答え

-10