与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + y = x$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} + y = x$ を解きます。

2. 解き方の手順

この微分方程式は1階線形微分方程式です。積分因子を使って解きます。

まず、与えられた微分方程式を標準形にします。標準形はすでに $\frac{dy}{dx} + y = x$ となっています。

次に、積分因子 $\mu(x)$ を計算します。積分因子は $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$ で与えられます。ここで、$P(x)$ は $y$ の係数です。この場合、$P(x) = 1$ です。

したがって、積分因子は

$\mu(x) = e^{\int 1 dx} = e^x$

となります。

次に、微分方程式の両辺に積分因子を掛けます。

$e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = xe^x$

左辺は積の微分になるはずです。

$\frac{d}{dx}(ye^x) = xe^x$

両辺を $x$ について積分します。

$\int \frac{d}{dx}(ye^x) dx = \int xe^x dx$

$ye^x = \int xe^x dx$

部分積分を使って $\int xe^x dx$ を計算します。$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

したがって、$ye^x = xe^x - e^x + C$ となります。

両辺を $e^x$ で割ると、

$y = x - 1 + Ce^{-x}$

3. 最終的な答え

$y = x - 1 + Ce^{-x}$