次の不定積分を計算してください。 $\int \frac{\sin x - \sin^3 x}{1 + \cos x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算してください。

$\int \frac{\sin x - \sin^3 x}{1 + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。分子から $\sin x$ をくくり出すと、

$\frac{\sin x - \sin^3 x}{1 + \cos x} = \frac{\sin x(1 - \sin^2 x)}{1 + \cos x}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いると、$1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ となるので、

$\frac{\sin x(1 - \sin^2 x)}{1 + \cos x} = \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x}$

次に、$\cos x = t$ と置換します。すると、$dt = -\sin x dx$ なので、$\sin x dx = -dt$ となります。

よって、積分は

$\int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{t^2}{1 + t} (-dt) = - \int \frac{t^2}{1 + t} dt$

ここで、$\frac{t^2}{1 + t}$ を部分分数分解することを考えます。

$\frac{t^2}{1 + t} = \frac{t^2 - 1 + 1}{1 + t} = \frac{(t - 1)(t + 1) + 1}{1 + t} = t - 1 + \frac{1}{1 + t}$

したがって、

$- \int \frac{t^2}{1 + t} dt = - \int \left(t - 1 + \frac{1}{1 + t}\right) dt = - \left(\frac{t^2}{2} - t + \ln|1 + t|\right) + C = -\frac{t^2}{2} + t - \ln|1 + t| + C$

ここで、$t = \cos x$ を代入すると、

$-\frac{(\cos x)^2}{2} + \cos x - \ln|1 + \cos x| + C = -\frac{\cos^2 x}{2} + \cos x - \ln(1 + \cos x) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{\cos^2 x}{2} + \cos x - \ln(1 + \cos x) + C$