与えられた3つの極限値を求める問題です。 1. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x - 1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を求める問題です。

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x - 1}$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}}$

3. $\lim_{x \to 0} (1 + \sin 3x)^{\frac{1}{2x}}$

2. 解き方の手順

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x - 1}$

$x \to 0$のとき、$\log(1+x) \approx x$、 $e^x - 1 \approx x$であるため、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

厳密には、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{e^x} = \frac{1}{1} = 1$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}}$

$x \to 0$のとき、$\sin x \approx x$、$e^x \approx 1+x$、$e^{-x} \approx 1-x$であるため、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{(1+x) - (1-x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$

厳密には、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

3. $\lim_{x \to 0} (1 + \sin 3x)^{\frac{1}{2x}}$

$y = \lim_{x \to 0} (1 + \sin 3x)^{\frac{1}{2x}}$とおくと、

$\log y = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2x} \log(1 + \sin 3x)$

$x \to 0$のとき、$\sin 3x \approx 3x$、$\log(1 + \sin 3x) \approx \sin 3x \approx 3x$であるため、

$\log y = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$

$y = e^{\frac{3}{2}}$

厳密には、ロピタルの定理を使うと、

$\log y = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + \sin 3x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3\cos 3x}{1 + \sin 3x}}{2} = \frac{\frac{3}{1}}{2} = \frac{3}{2}$

$y = e^{\frac{3}{2}}$

3. 最終的な答え

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x - 1} = 1$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} = \frac{1}{2}$

3. $\lim_{x \to 0} (1 + \sin 3x)^{\frac{1}{2x}} = e^{\frac{3}{2}}$