以下の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 + x - 6}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+16} - 4}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 5x - 2}{x^2 - 3x + 2}$

はい、承知しました。画像にある問題の中から、(1), (3), (5) の極限を求めます。

1. 問題の内容

以下の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 + x - 6}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+16} - 4}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 5x - 2}{x^2 - 3x + 2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 + x - 6}$

分子と分母を因数分解します。

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 + x - 6} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 3}$

$x = 2$ を代入すると、

$\frac{2^2 + 2(2) + 4}{2 + 3} = \frac{4 + 4 + 4}{5} = \frac{12}{5}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+16} - 4}$

分母を有理化します。

$\frac{x}{\sqrt{x+16} - 4} = \frac{x(\sqrt{x+16} + 4)}{(\sqrt{x+16} - 4)(\sqrt{x+16} + 4)} = \frac{x(\sqrt{x+16} + 4)}{(x+16) - 16} = \frac{x(\sqrt{x+16} + 4)}{x}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+16} - 4} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+16} + 4)}{x} = \lim_{x \to 0} (\sqrt{x+16} + 4)$

$x = 0$ を代入すると、

$\sqrt{0+16} + 4 = \sqrt{16} + 4 = 4 + 4 = 8$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 5x - 2}{x^2 - 3x + 2}$

分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\frac{3x^2 - 5x - 2}{x^2 - 3x + 2} = \frac{3 - \frac{5}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 5x - 2}{x^2 - 3x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ であるため、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = \frac{3 - 0 - 0}{1 - 0 + 0} = \frac{3}{1} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{12}{5}$

(3) $8$

(5) $3$