$x$が無限大に近づくときの関数 $7^x - 2^{3x}$ の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$が無限大に近づくときの関数 $7^x - 2^{3x}$ の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

$2^{3x}$ は $(2^3)^x = 8^x$ と書き換えることができます。

したがって、問題は

$$\lim_{x\to\infty} (7^x - 8^x)$$

を計算することになります。

$7^x - 8^x = 8^x \left( \left(\frac{7}{8}\right)^x - 1 \right)$ と変形します。

$x \to \infty$ のとき、$\left(\frac{7}{8}\right)^x \to 0$ なので、$\left(\frac{7}{8}\right)^x - 1 \to -1$ となります。

また、$x \to \infty$ のとき、$8^x \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{x\to\infty} 8^x \left( \left(\frac{7}{8}\right)^x - 1 \right) = \infty \times (-1) = -\infty$

となります。

3. 最終的な答え

$-\infty$