定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{4-x^3}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{4-x^3}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$u = 4 - x^3$ とおくと、$du = -3x^2 dx$ となります。したがって、$x^2 dx = -\frac{1}{3} du$ です。

積分範囲も変更する必要があります。$x = 0$ のとき $u = 4 - 0^3 = 4$ であり、$x = 1$ のとき $u = 4 - 1^3 = 3$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{4-x^3}} dx = \int_{4}^{3} \frac{1}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int_{4}^{3} u^{-\frac{1}{2}} du$

積分範囲を入れ替えると、符号が変わります。

$= \frac{1}{3} \int_{3}^{4} u^{-\frac{1}{2}} du$

$u^{-\frac{1}{2}}$ の積分は $2u^{\frac{1}{2}}$ なので、

$= \frac{1}{3} [2u^{\frac{1}{2}}]_{3}^{4} = \frac{2}{3} [\sqrt{u}]_{3}^{4}$

$= \frac{2}{3} (\sqrt{4} - \sqrt{3}) = \frac{2}{3} (2 - \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}(2-\sqrt{3})$