問題は以下の3つの部分から構成されています。 (1) 領域 $D = \{(x, y, z) | 0 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq a, z \geq 0\}$ を3次元デカルト座標系に図示すること。 (2) 球座標系 $(r, \theta, \phi)$ への変数変換におけるヤコビアンを求めること。 (3) 半球（領域 D）の質量を、密度関数 $\rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ を用いて求めること。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの部分から構成されています。

(1) 領域 $D = \{(x, y, z) | 0 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq a, z \geq 0\}$ を3次元デカルト座標系に図示すること。

(2) 球座標系 $(r, \theta, \phi)$ への変数変換におけるヤコビアンを求めること。

(3) 半球（領域 D）の質量を、密度関数 $\rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ を用いて求めること。

2. 解き方の手順

(1) 領域Dの図示：

領域Dは、原点を中心とする半径 $\sqrt{a}$ の球の上半分（$z \geq 0$）を表します。3次元デカルト座標系で、$x, y, z$軸を描き、半径$\sqrt{a}$の半球を$z \geq 0$の領域に描きます。

(2) ヤコビアンの計算：

球座標変換は以下のようになります。

$x = r\sin\phi\cos\theta$

$y = r\sin\phi\sin\theta$

$z = r\cos\phi$

ヤコビアン $J$ は、以下の行列式の絶対値で与えられます。

$J = \left| \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \phi)} \right| = \left| \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{matrix} \right|$

各偏微分を計算すると、

$\frac{\partial x}{\partial r} = \sin\phi\cos\theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\phi\sin\theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \phi} = r\cos\phi\cos\theta$

$\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\phi\sin\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\sin\phi\cos\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \phi} = r\cos\phi\sin\theta$

$\frac{\partial z}{\partial r} = \cos\phi, \quad \frac{\partial z}{\partial \theta} = 0, \quad \frac{\partial z}{\partial \phi} = -r\sin\phi$

これらの偏微分を代入して行列式を計算すると、

$J = \left| \sin\phi\cos\theta(r\sin\phi\cos\theta(-r\sin\phi) - 0) - (-r\sin\phi\sin\theta)(\sin\phi\sin\theta(-r\sin\phi) - \cos\phi(r\cos\phi\sin\theta)) + r\cos\phi\cos\theta(\sin\phi\sin\theta(0) - \cos\phi(r\sin\phi\cos\theta)) \right|$

$J = | -r^2\sin^3\phi\cos^2\theta - r^2\sin^3\phi\sin^2\theta - r^2\sin\phi\cos^2\phi\sin^2\theta - r^2\sin\phi\cos^2\phi\cos^2\theta |$

$J = | -r^2\sin^3\phi - r^2\sin\phi\cos^2\phi | = | -r^2\sin\phi(\sin^2\phi + \cos^2\phi) | = |-r^2\sin\phi| = r^2\sin\phi$

（ただし、$0 \leq \phi \leq \pi$ なので、$\sin\phi \geq 0$）

したがって、ヤコビアンは $r^2\sin\phi$ となります。

(3) 質量を求める：

領域Dにおける密度関数 $\rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ の半球の質量 $M$ は、以下の三重積分で与えられます。

$M = \iiint_D \rho(x, y, z) \, dV$

球座標に変換すると、$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ であり、$dV = r^2\sin\phi \, dr \, d\theta \, d\phi$ です。

領域Dは球座標では $0 \leq r \leq \sqrt{a}, 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq \phi \leq \pi/2$ で表されます。

したがって、質量は

$M = \int_{0}^{\sqrt{a}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/2} r^2 \cdot r^2\sin\phi \, d\phi \, d\theta \, dr$

$M = \int_{0}^{\sqrt{a}} r^4 dr \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi/2} \sin\phi d\phi$

$M = \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^{\sqrt{a}} \cdot \left[ \theta \right]_0^{2\pi} \cdot \left[ -\cos\phi \right]_0^{\pi/2}$

$M = \frac{(\sqrt{a})^5}{5} \cdot 2\pi \cdot (0 - (-1))$

$M = \frac{a^{5/2}}{5} \cdot 2\pi \cdot 1$

$M = \frac{2\pi a^{5/2}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 領域Dの図示：原点を中心とする半径 $\sqrt{a}$ の半球 ($z \geq 0$)。

(2) ヤコビアン：$r^2\sin\phi$

(3) 半球の質量：$\frac{2\pi a^{5/2}}{5}$