以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan 2x}{x}$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan 2x}{x}$

2. 解き方の手順

$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \frac{\sin 2x}{\cos 2x}}{x}$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \frac{2\sin x \cos x}{\cos 2x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{2\sin x \cos x}{x \cos 2x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることと、$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$, $\lim_{x \to 0} \cos 2x = 1$ であることを利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{2\sin x \cos x}{x \cos 2x} = 1 - 2\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{\cos 2x}$

$= 1 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1} = 1 - 2 = -1$

3. 最終的な答え

-1