加法定理を用いて、以下の値を求めます。 (1) $\sin(\frac{7}{12}\pi)$ (2) $\cos(\frac{3}{4}\pi)$

1. 問題の内容

加法定理を用いて、以下の値を求めます。

(1) $\sin(\frac{7}{12}\pi)$

(2) $\cos(\frac{3}{4}\pi)$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(\frac{7}{12}\pi)$を求めます。$\frac{7}{12}\pi$を$\frac{\pi}{3}$と$\frac{\pi}{4}$の和として表します。

$\sin(\frac{7}{12}\pi) = \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4})$

加法定理 $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ を用いると、

$\sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

それぞれの三角関数の値を代入します。

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$\sin(\frac{7}{12}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{7}{12}\pi) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin(\frac{7}{12}\pi) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos(\frac{3}{4}\pi)$を求めます。$\frac{3}{4}\pi$は$\pi - \frac{\pi}{4}$と表せます。

$\cos(\frac{3}{4}\pi) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4})$

$\cos(\pi - x) = - \cos x$の関係を利用すると、

$\cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = - \cos \frac{\pi}{4}$

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$\cos(\frac{3}{4}\pi) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $- \frac{\sqrt{2}}{2}$