$x$-$z$ 平面上の2次元ベクトル場 $\mathbf{f} = z\mathbf{i}$ の回転を計算する問題です。ここで $\mathbf{i}$ は $x$ 軸方向の単位ベクトルです。

1. 問題の内容

$x$-$z$ 平面上の2次元ベクトル場 $\mathbf{f} = z\mathbf{i}$ の回転を計算する問題です。ここで $\mathbf{i}$ は $x$ 軸方向の単位ベクトルです。

2. 解き方の手順

2次元ベクトル場 $\mathbf{f} = P(x, z)\mathbf{i} + Q(x, z)\mathbf{k}$ の回転は、次のように定義されます。

$$\text{rot} \ \mathbf{f} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z}$$

与えられたベクトル場 $\mathbf{f} = z\mathbf{i}$ では、$P(x, z) = z$ であり、$Q(x, z) = 0$ です。

したがって、

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (0)}{\partial x} = 0$$

$$\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial (z)}{\partial z} = 1$$

よって、回転は

$$\text{rot} \ \mathbf{f} = 0 - 1 = -1$$

3. 最終的な答え

回転は $-1$ です。