関数 $y=x^{\sqrt{x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y=x^{\sqrt{x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、対数微分法を用いるのが適切です。

まず、両辺の自然対数をとります。

$$\ln y = \ln (x^{\sqrt{x}})$$

対数の性質を用いて、指数を前に出します。

$$\ln y = \sqrt{x} \ln x$$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律を使って微分します。右辺は積の微分法を使います。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x} \ln x)$$

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}$$

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$$

$\frac{dy}{dx}$ について解くために、両辺に $y$ を掛けます。

$$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)$$

$y = x^{\sqrt{x}}$ を代入します。

$$\frac{dy}{dx} = x^{\sqrt{x}} \left( \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)$$

最後に、式を整理します。

$$\frac{dy}{dx} = x^{\sqrt{x}} \left( \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \right)$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{\sqrt{x}}(\ln x + 2)}{2\sqrt{x}}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{\sqrt{x}}(\ln x + 2)}{2\sqrt{x}}$$