与えられた関数 $f(x, y)$ について、条件 $g(x, y) = 0$ の下で、ラグランジュの未定乗数法を用いて、その最大値と最小値を求める。問題には４つのケースが含まれる。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ について、条件 $g(x, y) = 0$ の下で、ラグランジュの未定乗数法を用いて、その最大値と最小値を求める。問題には４つのケースが含まれる。

2. 解き方の手順

ラグランジュの未定乗数法を用いる。ラグランジュ関数 $L(x, y, \lambda)$ を次のように定義する。

$L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$

ここで、$\lambda$ はラグランジュの未定乗数である。

次に、次の連立方程式を解く。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 0$

$g(x, y) = 0$

これらの解 $(x, y)$ に対して $f(x, y)$ の値を計算し、それらの値の中から最大値と最小値を決定する。

ケース3: $f(x, y) = xy$, $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$

$L(x, y, \lambda) = xy - \lambda(x^2 + y^2 - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = y - 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = x - 2\lambda y = 0$

$x^2 + y^2 = 1$

$y = 2\lambda x$ を $x = 2\lambda y$ に代入すると、 $x = 4\lambda^2 x$

$x(1 - 4\lambda^2) = 0$.

$x = 0$ の場合、$y = 0$ となるが、$x^2 + y^2 = 1$ を満たさない。

したがって、$1 - 4\lambda^2 = 0$, つまり $\lambda = \pm \frac{1}{2}$

$\lambda = \frac{1}{2}$ のとき、$y = x$ であり、$x^2 + y^2 = 2x^2 = 1$ なので、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\lambda = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = -x$ であり、$x^2 + y^2 = 2x^2 = 1$ なので、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$(x, y) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2}$

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2}$

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{2}$

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{2}$

ケース4: $f(x, y) = \frac{x}{2} + y$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = 0$

$L(x, y, \lambda) = \frac{x}{2} + y - \lambda(\frac{x^2}{4} + y^2 - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{1}{2} - \frac{\lambda x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$

$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$

$x = \frac{1}{\lambda}$, $y = \frac{1}{2\lambda}$

$\frac{1}{4\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 1$

$\frac{2}{4\lambda^2} = 1$

$\lambda^2 = \frac{1}{2}$

$\lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$x = \sqrt{2}, y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $f(x,y) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

$\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$x = -\sqrt{2}, y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $f(x,y) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.

ケース5: $f(x, y) = x + y$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = 0$

$L(x, y, \lambda) = x + y - \lambda(\frac{x^2}{4} + y^2 - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - \frac{\lambda x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$

$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$

$x = \frac{2}{\lambda}, y = \frac{1}{2\lambda}$

$\frac{4}{4\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 1$

$\frac{5}{4\lambda^2} = 1$

$\lambda^2 = \frac{5}{4}$

$\lambda = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\lambda = \frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = \frac{4}{\sqrt{5}}, y = \frac{1}{\sqrt{5}}$. $f(x,y) = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.

$\lambda = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = -\frac{4}{\sqrt{5}}, y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$. $f(x,y) = -\frac{5}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5}$.

ケース6: $f(x, y) = \frac{xy}{2}$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = 0$

$L(x, y, \lambda) = \frac{xy}{2} - \lambda(\frac{x^2}{4} + y^2 - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{y}{2} - \frac{\lambda x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{x}{2} - 2\lambda y = 0$

$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$

$y = \lambda x$ を $\frac{x}{2} = 2\lambda y$ に代入すると、 $\frac{x}{2} = 2\lambda^2 x$.

$x(\frac{1}{2} - 2\lambda^2) = 0$.

$x = 0$ or $\frac{1}{2} = 2\lambda^2$.

$x=0$ のとき $y=\pm 1$. $f(0, \pm 1) = 0$.

$\lambda^2 = \frac{1}{4}$. $\lambda = \pm \frac{1}{2}$.

$\lambda = \pm \frac{1}{2}$ のとき $y = \pm \frac{x}{2}$.

$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 1$.

$x^2 = 2$. $x = \pm \sqrt{2}$. $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$(x,y) = (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ or $(-\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ or $(\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ or $(-\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

$f(x,y) = \frac{xy}{2} = \frac{1}{2}$ or $-\frac{1}{2}$.

3. 最終的な答え

ケース3: 最大値 $\frac{1}{2}$, 最小値 $-\frac{1}{2}$

ケース4: 最大値 $\sqrt{2}$, 最小値 $-\sqrt{2}$

ケース5: 最大値 $\sqrt{5}$, 最小値 $-\sqrt{5}$

ケース6: 最大値 $\frac{1}{2}$, 最小値 $-\frac{1}{2}$