関数 $y = \frac{6 - 2^x}{3^x - 3}$ のグラフの漸近線をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{6 - 2^x}{3^x - 3}$ のグラフの漸近線をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、垂直漸近線を求めます。分母が0になる $x$ を探します。

$3^x - 3 = 0$

$3^x = 3$

$x = 1$

$x = 1$ のとき、分子は $6 - 2^1 = 6 - 2 = 4 \neq 0$ なので、$x = 1$ は垂直漸近線となります。

次に、極限を計算して水平漸近線を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 - 2^x}{3^x - 3}$

分子と分母を $3^x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{3^x} - \frac{2^x}{3^x}}{1 - \frac{3}{3^x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{3^x} - (\frac{2}{3})^x}{1 - \frac{3}{3^x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{6}{3^x} \to 0$, $(\frac{2}{3})^x \to 0$, $\frac{3}{3^x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{3^x} - (\frac{2}{3})^x}{1 - \frac{3}{3^x}} = \frac{0 - 0}{1 - 0} = 0$

よって、$y = 0$ は水平漸近線です。

次に、$x \to -\infty$ のときの極限を計算します。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{6 - 2^x}{3^x - 3}$

$x \to -\infty$ のとき、$2^x \to 0$ かつ $3^x \to 0$ なので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{6 - 2^x}{3^x - 3} = \frac{6 - 0}{0 - 3} = \frac{6}{-3} = -2$

よって、$y = -2$ も水平漸近線です。

以上より、漸近線は $x = 1$, $y = 0$, $y = -2$ です。

3. 最終的な答え

漸近線は $x = 1$, $y = 0$, $y = -2$ です。