$f(x)$ は $0$ でない $x$ の多項式であり、$xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$ を満たし、$f(0) = 1$ である。このとき、$f(x)$ の次数と $f(x)$ を求めよ。

## 27番の問題

1. 問題の内容

$f(x)$ は $0$ でない $x$ の多項式であり、$xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$ を満たし、$f(0) = 1$ である。このとき、$f(x)$ の次数と $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の次数の決定

$f(x)$ を $n$ 次の多項式と仮定する。つまり、$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ （$a_n \neq 0$）。

$f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1$

$f''(x) = n(n-1) a_n x^{n-2} + (n-1)(n-2) a_{n-1} x^{n-3} + \dots + 2a_2$

与えられた方程式 $xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$ に代入する。

$xf''(x)$ の最高次の項は $n(n-1)a_n x^{n-1}$。

$(1-x)f'(x)$ の最高次の項は $-n a_n x^n$。

$3f(x)$ の最高次の項は $3a_n x^n$。

方程式の左辺の最高次の項は $(-n+3) a_n x^n$ である。

これが0であるためには、$-n+3 = 0$ でなければならない。したがって、$n = 3$。

(2) $f(x)$ の決定

$f(x)$ は3次多項式であり、$f(0) = 1$ なので、$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 1$ と置ける。

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$f''(x) = 6ax + 2b$

与えられた方程式 $xf''(x) + (1-x)f'(x) + 3f(x) = 0$ に代入する。

$x(6ax+2b) + (1-x)(3ax^2+2bx+c) + 3(ax^3+bx^2+cx+1) = 0$

$6ax^2+2bx + 3ax^2+2bx+c - 3ax^3-2bx^2-cx + 3ax^3+3bx^2+3cx+3 = 0$

$(-3a + 3a)x^3 + (6a + 3a - 2b + 3b)x^2 + (2b + 2b - c + 3c)x + (c + 3) = 0$

$9ax^2 + (4b + 2c)x + (c + 3) = 0$

この方程式が恒等的に0であるためには、各係数が0でなければならない。

$9a = 0$ より $a = 0$。

$4b + 2c = 0$ より $2b + c = 0$。

$c + 3 = 0$ より $c = -3$。

$2b - 3 = 0$ より $b = \frac{3}{2}$。

したがって、$f(x) = 0x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 1 = \frac{3}{2}x^2 - 3x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ の次数: 2

(2) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 3x + 1$