$\sin \alpha - \sin \beta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\cos \alpha + \cos \beta = \frac{\sqrt{6}}{2}$のとき、$\cos(\alpha + \beta)$の値を求める。

1. 問題の内容

$\sin \alpha - \sin \beta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\cos \alpha + \cos \beta = \frac{\sqrt{6}}{2}$のとき、$\cos(\alpha + \beta)$の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2つの式をそれぞれ2乗する。

$(\sin \alpha - \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$

$(\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

2つの式を足し合わせる。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \beta + \cos^2 \beta - 2\sin \alpha \sin \beta + 2\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

$1 + 1 + 2(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = 2$

$2 + 2\cos(\alpha + \beta) = 2$

$2\cos(\alpha + \beta) = 0$

$\cos(\alpha + \beta) = 0$

3. 最終的な答え

$\cos(\alpha + \beta) = 0$