与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n+1)}{\log n}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n+1)}{\log n}$$

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、ロピタルの定理を使用することができます。ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ の形であり、$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ または $\pm \infty$ である場合に、次の式が成り立つというものです。

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

この問題では、$f(n) = \log(n+1)$ と $g(n) = \log n$ とします。$n \to \infty$ のとき、$f(n) \to \infty$ かつ $g(n) \to \infty$ であるため、ロピタルの定理を適用できます。

まず、$f(n)$ と $g(n)$ の導関数を計算します。

$$f'(n) = \frac{d}{dn} \log(n+1) = \frac{1}{n+1}$$

$$g'(n) = \frac{d}{dn} \log n = \frac{1}{n}$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n+1)}{\log n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}$$

この極限は、分子と分母を $n$ で割ることによって簡単に計算できます。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{1 + 0} = 1$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log(n+1)}{\log n} = 1$$