与えられた6つの関数を微分せよ。ただし、$a$ と $b$ は定数で、$a>0$ かつ $a \neq 1$ とする。 (1) $y = e^{-2x} \sin 2x$ (2) $y = 10^{\sin x}$ (3) $y = \log_x a$ (4) $y = \log(\log x)$ (5) $y = \log(x + \sqrt{x^2 - a^2})$ (6) $y = \log \frac{x^2 - b}{x^2 + b}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分せよ。ただし、$a$ と $b$ は定数で、$a>0$ かつ $a \neq 1$ とする。

(1) $y = e^{-2x} \sin 2x$

(2) $y = 10^{\sin x}$

(3) $y = \log_x a$

(4) $y = \log(\log x)$

(5) $y = \log(x + \sqrt{x^2 - a^2})$

(6) $y = \log \frac{x^2 - b}{x^2 + b}$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{-2x} \sin 2x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。$u = e^{-2x}$, $v = \sin 2x$ とすると、

$u' = -2e^{-2x}$, $v' = 2\cos 2x$ であるから、

$y' = -2e^{-2x} \sin 2x + e^{-2x} (2\cos 2x) = 2e^{-2x} (\cos 2x - \sin 2x)$

(2) $y = 10^{\sin x}$

合成関数の微分公式 $(a^{f(x)})' = a^{f(x)} \ln a \cdot f'(x)$ を用いる。

$y' = 10^{\sin x} \ln 10 \cdot \cos x = \cos x \cdot 10^{\sin x} \ln 10$

(3) $y = \log_x a$

底の変換公式 $\log_x a = \frac{\log a}{\log x}$ より、

$y = \frac{\log a}{\log x} = \log a \cdot (\log x)^{-1}$

$y' = \log a \cdot (-1) (\log x)^{-2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{\log a}{x (\log x)^2}$

(4) $y = \log(\log x)$

合成関数の微分公式を用いる。

$y' = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$

(5) $y = \log(x + \sqrt{x^2 - a^2})$

合成関数の微分公式を用いる。

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} \cdot (1 + \frac{1}{2} (x^2 - a^2)^{-1/2} \cdot 2x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}})$

$= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 - a^2} + x}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

(6) $y = \log \frac{x^2 - b}{x^2 + b}$

対数の性質 $\log \frac{u}{v} = \log u - \log v$ より、

$y = \log(x^2 - b) - \log(x^2 + b)$

$y' = \frac{2x}{x^2 - b} - \frac{2x}{x^2 + b} = 2x \left( \frac{1}{x^2 - b} - \frac{1}{x^2 + b} \right) = 2x \frac{(x^2 + b) - (x^2 - b)}{(x^2 - b)(x^2 + b)}$

$= 2x \frac{2b}{x^4 - b^2} = \frac{4bx}{x^4 - b^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2e^{-2x} (\cos 2x - \sin 2x)$

(2) $y' = \cos x \cdot 10^{\sin x} \ln 10$

(3) $y' = -\frac{\log a}{x (\log x)^2}$

(4) $y' = \frac{1}{x \log x}$

(5) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

(6) $y' = \frac{4bx}{x^4 - b^2}$