与えられた4つの微分方程式の一般解を特性方程式を立てて求める問題です。 (1) $y' = ky$ ($k$は定数) (2) $ay' = 0$ ($a$は定数) (3) $y'' + 4y' + 3y = 0$ (4) $y'' - 2y' + y = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの微分方程式の一般解を特性方程式を立てて求める問題です。

(1) $y' = ky$ ($k$は定数)

(2) $ay' = 0$ ($a$は定数)

(3) $y'' + 4y' + 3y = 0$

(4) $y'' - 2y' + y = 0$

2. 解き方の手順

(1) $y' = ky$ の場合

特性方程式は $\lambda = k$ となります。

したがって、一般解は $y = Ce^{kx}$ です。（$C$は任意の定数）

(2) $ay' = 0$ の場合

$y' = 0$ となり、特性方程式は $\lambda = 0$ です。

したがって、一般解は $y = C$ です。（$C$は任意の定数）

(3) $y'' + 4y' + 3y = 0$ の場合

特性方程式は $\lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0$ です。

$(\lambda + 1)(\lambda + 3) = 0$ より、$\lambda = -1, -3$ となります。

したがって、一般解は $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}$ です。（$C_1, C_2$は任意の定数）

(4) $y'' - 2y' + y = 0$ の場合

特性方程式は $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$ です。

$(\lambda - 1)^2 = 0$ より、$\lambda = 1$ (重根) となります。

したがって、一般解は $y = C_1e^{x} + C_2xe^{x}$ です。（$C_1, C_2$は任意の定数）

3. 最終的な答え

(1) $y = Ce^{kx}$ ($C$は任意の定数)

(2) $y = C$ ($C$は任意の定数)

(3) $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}$ ($C_1, C_2$は任意の定数)

(4) $y = C_1e^{x} + C_2xe^{x}$ ($C_1, C_2$は任意の定数)