関数 $y = \sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}}$ の $x=1$ における接線を $l$ とする。接線 $l$ と $y$ 軸との交点の $y$ 座標を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}}$ の $x=1$ における接線を $l$ とする。接線 $l$ と $y$ 軸との交点の $y$ 座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=1$ における $y$ の値を求める。

$x=1$ を $y = \sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}}$ に代入すると、

$y = \sqrt{\frac{2(1)-1}{3(1)+1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

よって、接点の座標は $(1, \frac{1}{2})$ である。

(2) $y$ を $x$ で微分する。

$y = \sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}}$ を微分するために、まず $u = \frac{2x-1}{3x+1}$ とおくと、$y = \sqrt{u}$ となる。

$\frac{du}{dx} = \frac{(2)(3x+1) - (2x-1)(3)}{(3x+1)^2} = \frac{6x+2 - (6x-3)}{(3x+1)^2} = \frac{5}{(3x+1)^2}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

よって、合成関数の微分より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{5}{(3x+1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}}} \cdot \frac{5}{(3x+1)^2} = \frac{5}{2(3x+1)^2} \sqrt{\frac{3x+1}{2x-1}}$

(3) $x=1$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を求める。

$\frac{dy}{dx}|_{x=1} = \frac{5}{2(3(1)+1)^2} \sqrt{\frac{3(1)+1}{2(1)-1}} = \frac{5}{2(4)^2} \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{5}{2(16)} (2) = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

よって、$x=1$ における接線の傾きは $\frac{5}{16}$ である。

(4) 接線 $l$ の方程式を求める。

接点の座標 $(1, \frac{1}{2})$ と傾き $\frac{5}{16}$ より、接線 $l$ の方程式は

$y - \frac{1}{2} = \frac{5}{16}(x-1)$

$y = \frac{5}{16}x - \frac{5}{16} + \frac{1}{2} = \frac{5}{16}x - \frac{5}{16} + \frac{8}{16} = \frac{5}{16}x + \frac{3}{16}$

(5) 接線 $l$ と $y$ 軸との交点の $y$ 座標を求める。

$y$ 軸との交点は $x=0$ であるから、接線 $l$ の方程式に $x=0$ を代入すると、

$y = \frac{5}{16}(0) + \frac{3}{16} = \frac{3}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{16}$