与えられた3つの関数について、それぞれ第3次導関数を求める。 (1) $y = \frac{1}{x^2 - x}$ (2) $y = \sqrt{2x + 1}$ (3) $y = \cos^3 x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれ第3次導関数を求める。

(1) $y = \frac{1}{x^2 - x}$

(2) $y = \sqrt{2x + 1}$

(3) $y = \cos^3 x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x^2 - x} = \frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$ と部分分数分解する。

$1 = A(x-1) + Bx$ より、

$x=0$ のとき $1 = -A$ なので $A = -1$。

$x=1$ のとき $1 = B$ なので $B = 1$。

したがって、 $y = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}$。

$y' = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x-1)^2}$

$y'' = -\frac{2}{x^3} + \frac{2}{(x-1)^3}$

$y''' = \frac{6}{x^4} - \frac{6}{(x-1)^4}$

(2) $y = \sqrt{2x + 1} = (2x + 1)^{\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{1}{2}(2x + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = (2x + 1)^{-\frac{1}{2}}$

$y'' = -\frac{1}{2}(2x + 1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2 = -(2x + 1)^{-\frac{3}{2}}$

$y''' = \frac{3}{2}(2x + 1)^{-\frac{5}{2}} \cdot 2 = 3(2x + 1)^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{(2x + 1)^{\frac{5}{2}}}$

(3) $y = \cos^3 x$

$y' = 3\cos^2 x (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$

$y'' = -3(2\cos x (-\sin x) \sin x + \cos^2 x \cos x) = 6\cos x \sin^2 x - 3\cos^3 x = 6\cos x (1 - \cos^2 x) - 3\cos^3 x = 6\cos x - 9\cos^3 x$

$y''' = -6\sin x - 9(3\cos^2 x(-\sin x)) = -6\sin x + 27\cos^2 x \sin x = -6\sin x + 27(1-\sin^2 x)\sin x = -6\sin x + 27\sin x - 27\sin^3 x = 21\sin x - 27\sin^3 x$

3. 最終的な答え

(1) $y''' = \frac{6}{x^4} - \frac{6}{(x-1)^4}$

(2) $y''' = \frac{3}{(2x + 1)^{\frac{5}{2}}}$

(3) $y''' = 21\sin x - 27\sin^3 x$