与えられた関数の極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to 2} (2 + 2x + x^2)$ (2) $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 2}{-2x^2 + 3x + 1}$ (4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$ (6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}$

はい、承知しました。以下の形式で、問題(1), (2), (3), (4), (6) の極限を求めます。問題(5)には×印が付いているため、解きません。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 2} (2 + 2x + x^2)$

(2) $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 2}{-2x^2 + 3x + 1}$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $x$ に $2$ を代入するだけです。

(2) 分子と分母を因数分解します。次に、共通因子をキャンセルします。その後、$x$ に $-2$ を代入します。

(3) 分子と分母を $x^2$ で割ります。次に、$x \to \infty$ の極限を取ります。

(4) $x$ が $2$ に近づくと、$(x-2)^2$ は $0$ に近づきます。したがって、$\frac{1}{(x-2)^2}$ は無限大に発散します。

(6) 分子と分母を有理化します。次に、$x$ が無限大に近づくときの極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 2} (2 + 2x + x^2)$

$= 2 + 2(2) + (2)^2$

$= 2 + 4 + 4 = 10$

(2) $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 7x + 6}{x^2 - 4}$

$= \lim_{x \to -2} \frac{(2x + 3)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \lim_{x \to -2} \frac{2x + 3}{x - 2}$

$= \frac{2(-2) + 3}{-2 - 2}$

$= \frac{-4 + 3}{-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 2}{-2x^2 + 3x + 1}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{-2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}$

$= \frac{4 + 0 + 0}{-2 + 0 + 0} = \frac{4}{-2} = -2$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1})}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x+2 - (x-1))(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{(x+1 - x)(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1})}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{3(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{3(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1)}{\sqrt{1+\frac{2}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}}$

$= \frac{3(\sqrt{1+0} + 1)}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}}$

$= \frac{3(1 + 1)}{1 + 1} = \frac{3(2)}{2} = 3$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) $\frac{1}{4}$

(3) -2

(4) $\infty$

(6) 3