次の極限を求めます。 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)} - \sqrt{n(n+2)})$

## (1) の問題

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)} - \sqrt{n(n+2)})$

2. 解き方の手順

まず、式を有理化します。

$\sqrt{(n+1)(n+3)} - \sqrt{n(n+2)} = \frac{(\sqrt{(n+1)(n+3)} - \sqrt{n(n+2)}) (\sqrt{(n+1)(n+3)} + \sqrt{n(n+2)})}{\sqrt{(n+1)(n+3)} + \sqrt{n(n+2)}}$

$= \frac{(n+1)(n+3) - n(n+2)}{\sqrt{(n+1)(n+3)} + \sqrt{n(n+2)}}$

$= \frac{n^2 + 4n + 3 - n^2 - 2n}{\sqrt{n^2 + 4n + 3} + \sqrt{n^2 + 2n}}$

$= \frac{2n + 3}{\sqrt{n^2 + 4n + 3} + \sqrt{n^2 + 2n}}$

次に、分子と分母を$n$で割ります。

$\frac{2n + 3}{\sqrt{n^2 + 4n + 3} + \sqrt{n^2 + 2n}} = \frac{2 + \frac{3}{n}}{\sqrt{1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n}}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{4}{n} \to 0$, $\frac{3}{n^2} \to 0$, $\frac{2}{n} \to 0$となるので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n}}{\sqrt{1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}} + \sqrt{1 + \frac{2}{n}}} = \frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

1

## (2) の問題

1. 問題の内容

次の極限を求めます。ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n}\pi]}{10^{2n}}$

2. 解き方の手順

$[x]$ の定義から、

$x-1 < [x] \leq x$

この不等式を $x = 10^{2n}\pi$ に適用すると、

$10^{2n}\pi - 1 < [10^{2n}\pi] \leq 10^{2n}\pi$

各辺を $10^{2n}$ で割ると、

$\pi - \frac{1}{10^{2n}} < \frac{[10^{2n}\pi]}{10^{2n}} \leq \pi$

ここで、$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{10^{2n}} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (\pi - \frac{1}{10^{2n}}) = \pi$

したがって、挟み撃ちの原理から、

$\lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n}\pi]}{10^{2n}} = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$

## (3) の問題

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{(1+2+3+\cdots+n)^2}{n(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)}$

2. 解き方の手順

まず、和の公式を使います。

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

したがって、

$\frac{(1+2+3+\cdots+n)^2}{n(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)} = \frac{(\frac{n(n+1)}{2})^2}{n(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})}$

$= \frac{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}{\frac{n^2(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \cdot \frac{6}{n^2(n+1)(2n+1)}$

$= \frac{6(n+1)}{4(2n+1)} = \frac{3(n+1)}{2(2n+1)} = \frac{3n + 3}{4n + 2}$

次に、分子と分母を$n$で割ります。

$\frac{3n + 3}{4n + 2} = \frac{3 + \frac{3}{n}}{4 + \frac{2}{n}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{2}{n} \to 0$となるので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{3}{n}}{4 + \frac{2}{n}} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$

## (4) の問題

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2}{n})^n$

2. 解き方の手順

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$

この公式を利用します。

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2}{n})^n = e^{-2}$

3. 最終的な答え

$e^{-2}$