$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 2}{-2^x + 3x + 1}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 2}{-2^x + 3x + 1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x$ が無限大に近づくとき、指数関数 $2^x$ は多項式関数 $4x^2 + 3x + 2$ や $3x + 1$ よりもはるかに速く増加します。したがって、分母は負の無限大に発散し、分子は正の無限大に発散します。

分母の $-2^x$ が支配的であるため、この極限は0に近づきます。厳密に示すためには、まず分母と分子を $2^x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 3x + 2}{-2^x + 3x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{2^x} + \frac{3x}{2^x} + \frac{2}{2^x}}{-1 + \frac{3x}{2^x} + \frac{1}{2^x}}$

ここで、ロピタルの定理を適用するか、または指数関数が多項式関数より速く増加することを利用して、$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{2^x} = 0$ for any $n$ を使うことができます。

この場合、$n=2$ and $n=1$ を考える必要があります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{2^x} = 0$ and $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^x} = 0$ となります。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{2^x} + \frac{3x}{2^x} + \frac{2}{2^x}}{-1 + \frac{3x}{2^x} + \frac{1}{2^x}} = \frac{0 + 0 + 0}{-1 + 0 + 0} = \frac{0}{-1} = 0$

3. 最終的な答え

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