与えられた4つの積分を計算します。 (1) $\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$ (2) $\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$ (3) $\int (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx$ (4) $\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を計算します。

(1) $\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$

(2) $\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$

(3) $\int (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx$

(4) $\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) 各項を個別に積分します。

$\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx = \int 6x^5 dx + \int 5x^4 dx - \int x^{-2} dx$

$= 6\int x^5 dx + 5\int x^4 dx - \int x^{-2} dx$

$= 6(\frac{x^6}{6}) + 5(\frac{x^5}{5}) - (\frac{x^{-1}}{-1}) + C$

$= x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$

(2) 式を整理してから積分します。

$\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx = \int (\frac{2}{x^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{2}x^{1/2}} + 9x^2) dx$

$= 2\int x^{-3/2} dx + \frac{1}{\sqrt{2}}\int x^{-1/2} dx + 9\int x^2 dx$

$= 2(\frac{x^{-1/2}}{-1/2}) + \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{x^{1/2}}{1/2}) + 9(\frac{x^3}{3}) + C$

$= -4x^{-1/2} + \frac{2}{\sqrt{2}}x^{1/2} + 3x^3 + C$

$= -\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$

(3) 式を展開してから積分します。

$\int (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx = \int (\frac{x}{x^3} + x - \frac{1}{x^3} - 1) dx$

$= \int (x^{-2} + x - x^{-3} - 1) dx$

$= \int x^{-2} dx + \int x dx - \int x^{-3} dx - \int 1 dx$

$= \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-2}}{-2} - x + C$

$= -\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x + C$

(4) 式を整理してから積分します。

$\int \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx = \int (\frac{x^2}{x} + \frac{x^{3/2}}{x} - \frac{x^{1/2}}{x}) dx$

$= \int (x + x^{1/2} - x^{-1/2}) dx$

$= \int x dx + \int x^{1/2} dx - \int x^{-1/2} dx$

$= \frac{x^2}{2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$

$= \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x^{1/2} + C$

$= \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3}\sqrt{x^3} - 2\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$

(2) $-\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$

(3) $-\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x + C$

(4) $\frac{x^2}{2} + \frac{2}{3}\sqrt{x^3} - 2\sqrt{x} + C$