$x=a$ の十分近くで $f(x) > 0$, $g(x) > 0$, $\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$, $\lim_{x \to a} g(x) = \beta$ とする。$\alpha, \beta$ が以下の条件を満たすとき、$\lim_{x \to a} \{f(x)\}^{g(x)}$ を求めよ。 (1) $0 < \alpha < +\infty$, $0 < \beta < +\infty$ (2) $0 < \alpha < +\infty$, $\beta = 0$ (3) $0 \le \alpha < 1$, $\beta = +\infty$ (ここで、$0 < |x-a| < \delta \implies 0 < f(x) < r < 1$, $g(x) > 0$ となるような $r, \delta$ が存在することを用いてよい。) (4) $1 < \alpha$, $\beta = +\infty$ (ここで、$0 < |x-a| < \delta \implies 1 < r < f(x)$, $g(x) > 0$ となるような $r, \delta$ が存在することを用いてよい。)

1. 問題の内容

$x=a$ の十分近くで $f(x) > 0$, $g(x) > 0$, $\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$, $\lim_{x \to a} g(x) = \beta$ とする。$\alpha, \beta$ が以下の条件を満たすとき、$\lim_{x \to a} \{f(x)\}^{g(x)}$ を求めよ。

(1) $0 < \alpha < +\infty$, $0 < \beta < +\infty$

(2) $0 < \alpha < +\infty$, $\beta = 0$

(3) $0 \le \alpha < 1$, $\beta = +\infty$ (ここで、$0 < |x-a| < \delta \implies 0 < f(x) < r < 1$, $g(x) > 0$ となるような $r, \delta$ が存在することを用いてよい。)

(4) $1 < \alpha$, $\beta = +\infty$ (ここで、$0 < |x-a| < \delta \implies 1 < r < f(x)$, $g(x) > 0$ となるような $r, \delta$ が存在することを用いてよい。)

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to a} \{f(x)\}^{g(x)}$ を求めるために、$y = \{f(x)\}^{g(x)}$ とおき、両辺の自然対数をとる。

$\ln y = g(x) \ln f(x)$

$\lim_{x \to a} \ln y = \lim_{x \to a} g(x) \ln f(x)$

それぞれの条件で、$\lim_{x \to a} \ln y$ を計算し、$\lim_{x \to a} y = \lim_{x \to a} \{f(x)\}^{g(x)}$ を求める。

(1) $0 < \alpha < +\infty$, $0 < \beta < +\infty$

$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$, $\lim_{x \to a} g(x) = \beta$

$\lim_{x \to a} \ln f(x) = \ln \alpha$

$\lim_{x \to a} \ln y = \lim_{x \to a} g(x) \ln f(x) = \beta \ln \alpha = \ln \alpha^\beta$

$\lim_{x \to a} y = \alpha^\beta$

(2) $0 < \alpha < +\infty$, $\beta = 0$

$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$, $\lim_{x \to a} g(x) = 0$

$\lim_{x \to a} \ln f(x) = \ln \alpha$

$\lim_{x \to a} \ln y = \lim_{x \to a} g(x) \ln f(x) = 0 \cdot \ln \alpha = 0$

$\lim_{x \to a} y = e^0 = 1$

(3) $0 \le \alpha < 1$, $\beta = +\infty$

$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$, $\lim_{x \to a} g(x) = +\infty$

$0 \le \alpha < 1$ より $\ln \alpha < 0$ である。

$\lim_{x \to a} \ln f(x) = \ln \alpha$

$\lim_{x \to a} \ln y = \lim_{x \to a} g(x) \ln f(x) = (+\infty) \cdot (\ln \alpha) = -\infty$

$\lim_{x \to a} y = e^{-\infty} = 0$

(4) $1 < \alpha$, $\beta = +\infty$

$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$, $\lim_{x \to a} g(x) = +\infty$

$1 < \alpha$ より $\ln \alpha > 0$ である。

$\lim_{x \to a} \ln f(x) = \ln \alpha$

$\lim_{x \to a} \ln y = \lim_{x \to a} g(x) \ln f(x) = (+\infty) \cdot (\ln \alpha) = +\infty$

$\lim_{x \to a} y = e^{+\infty} = +\infty$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^\beta$

(2) $1$

(3) $0$

(4) $+\infty$