与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x \to \infty} x\left(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x\right)$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} x\left(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x\right)$$

2. 解き方の手順

まず、$y = 1/x$ と置換します。すると、$x \to \infty$ のとき、$y \to 0$ となります。

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} x\left(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x\right) = \lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \left(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{y}\right)$$

$\tan^{-1} \frac{1}{y} = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} y$ であることを用いると、

$$\lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} y\right)\right) = \lim_{y \to 0} \frac{\tan^{-1} y}{y}$$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = 1$ であることを用います。

これは、ロピタルの定理を用いて示すことができます。つまり、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x^2)}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x^2} = 1$。

したがって、求める極限は

$$\lim_{y \to 0} \frac{\tan^{-1} y}{y} = 1$$

3. 最終的な答え

1