次の関数を微分しなさい。 (1) $e^{3x+4}$ (2) $e^{x^2}$ (3) $xe^x$ (4) $\log_{\frac{1}{2}} x$ (5) $x \log x$ (6) $\log (x + \sqrt{x^2 + A})$

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。今回は、問題2の微分を計算します。

1. 問題の内容

次の関数を微分しなさい。

(1) $e^{3x+4}$

(2) $e^{x^2}$

(3) $xe^x$

(4) $\log_{\frac{1}{2}} x$

(5) $x \log x$

(6) $\log (x + \sqrt{x^2 + A})$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x+4}$ の微分

合成関数の微分公式を用います。$u = 3x+4$ とおくと、$y = e^u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x+4}$

(2) $y = e^{x^2}$ の微分

同様に合成関数の微分公式を用います。$u = x^2$ とおくと、$y = e^u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(3) $y = xe^x$ の微分

積の微分公式を用います。 $(uv)' = u'v + uv'$

$u = x$, $v = e^x$

$u' = 1$, $v' = e^x$

よって、$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

(4) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ の微分

底の変換公式を用いると、$y = \frac{\log x}{\log \frac{1}{2}} = \frac{\log x}{-\log 2} = -\frac{1}{\log 2}\log x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\log 2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{x \log 2}$

(5) $y = x \log x$ の微分

積の微分公式を用います。 $(uv)' = u'v + uv'$

$u = x$, $v = \log x$

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x}$

よって、$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

(6) $y = \log (x + \sqrt{x^2 + A})$ の微分

合成関数の微分公式を用います。$u = x + \sqrt{x^2 + A}$ とおくと、$y = \log u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}}$

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2} (x^2 + A)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}}$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + A}}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$

3. 最終的な答え

(1) $3e^{3x+4}$

(2) $2xe^{x^2}$

(3) $(x+1)e^x$

(4) $-\frac{1}{x \log 2}$

(5) $\log x + 1$

(6) $\frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$