与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\sin^{-1}x)$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\sin^{-1}x)$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \tan^{-1}(u)$ とおき、$u = \sin^{-1}(x)$ とおく。

連鎖律（chain rule）を用いて、$dy/dx$ を計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (\tan^{-1}(u)) = \frac{1}{1+u^2}$

$u = \sin^{-1}(x)$ より、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin^{-1}(x)) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\sin^{-1}x)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2} (1+(\sin^{-1}x)^2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2} (1+(\sin^{-1}x)^2)}$