与えられた関数 $y = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{x}})$ の微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{x}})$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

まず、逆三角関数 $y=\sin^{-1}u$ の微分は $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}$ で表されることを利用します。

この問題では、$u = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ とおきます。

まず、$u$ の微分を計算します。

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

次に、$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ を計算します。

$u^2 = \frac{1}{x}$ なので、

$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x}}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}$

したがって、$y$ の微分は以下のようになります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} \cdot \left(-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\right) = -\frac{1}{2x\sqrt{x-1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2x\sqrt{x-1}}$