$\sin \alpha + \sin \beta = \frac{1}{3}$、$\cos \alpha + \cos \beta = \frac{1}{2}$のとき、$\cos(\alpha - \beta)$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin \alpha + \sin \beta = \frac{1}{3}$、$\cos \alpha + \cos \beta = \frac{1}{2}$のとき、$\cos(\alpha - \beta)$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式をそれぞれ2乗する。

$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$

$(\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$

上記の二つの式を足し合わせる。

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2 (\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta) = \frac{1}{9} + \frac{1}{4}$

$1 + 1 + 2 \cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{36} + \frac{9}{36}$

$2 + 2 \cos(\alpha - \beta) = \frac{13}{36}$

$2 \cos(\alpha - \beta) = \frac{13}{36} - 2$

$2 \cos(\alpha - \beta) = \frac{13}{36} - \frac{72}{36}$

$2 \cos(\alpha - \beta) = \frac{13 - 72}{36}$

$2 \cos(\alpha - \beta) = - \frac{59}{36}$

$\cos(\alpha - \beta) = - \frac{59}{72}$

3. 最終的な答え

$\cos(\alpha - \beta) = - \frac{59}{72}$