与えられた三角関数の式、$\sin \theta + \sin\left(\theta + \frac{2}{3}\pi\right) + \sin\left(\theta + \frac{4}{3}\pi\right)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式、$\sin \theta + \sin\left(\theta + \frac{2}{3}\pi\right) + \sin\left(\theta + \frac{4}{3}\pi\right)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の和の公式を用いて計算します。具体的には、以下の公式を利用します。

$\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

まず、$\sin\left(\theta + \frac{2}{3}\pi\right) + \sin\left(\theta + \frac{4}{3}\pi\right)$ の部分を計算します。

$A = \theta + \frac{2}{3}\pi$、 $B = \theta + \frac{4}{3}\pi$ とすると、

$\frac{A+B}{2} = \frac{(\theta + \frac{2}{3}\pi) + (\theta + \frac{4}{3}\pi)}{2} = \frac{2\theta + 2\pi}{2} = \theta + \pi$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(\theta + \frac{2}{3}\pi) - (\theta + \frac{4}{3}\pi)}{2} = \frac{-\frac{2}{3}\pi}{2} = -\frac{\pi}{3}$

したがって、

$\sin\left(\theta + \frac{2}{3}\pi\right) + \sin\left(\theta + \frac{4}{3}\pi\right) = 2\sin(\theta + \pi)\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$

よって、

$2\sin(\theta + \pi)\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2(-\sin\theta)\left(\frac{1}{2}\right) = -\sin\theta$

元の式に代入すると、

$\sin \theta + \sin\left(\theta + \frac{2}{3}\pi\right) + \sin\left(\theta + \frac{4}{3}\pi\right) = \sin \theta - \sin\theta = 0$

3. 最終的な答え

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