$\sin(\arccos(\frac{1}{4}))$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin(\arccos(\frac{1}{4}))$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\theta = \arccos(\frac{1}{4})$ とおく。

このとき、$\cos(\theta) = \frac{1}{4}$ である。

$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ という恒等式を利用する。

$\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)$

$\sin^2(\theta) = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

したがって、

$\sin(\theta) = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$

ここで、$\arccos(x)$ の値域は $0 \leq \arccos(x) \leq \pi$ である。

従って、$0 \leq \theta \leq \pi$ である。

この区間において、$\sin(\theta) \geq 0$ であるから、

$\sin(\theta) = \frac{\sqrt{15}}{4}$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{15}}{4}$