問題は、以下の3つの関数のグラフを描くことです。 (1) $y = \frac{x}{\log x}$ ($x > 0$) (2) $y = \frac{e^x}{x}$ ($x \ne 0$) (3) $y = x^x$ ($x \ge 0$, $0^0 = 1$ とする)

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの関数のグラフを描くことです。

(1) $y = \frac{x}{\log x}$ ($x > 0$)

(2) $y = \frac{e^x}{x}$ ($x \ne 0$)

(3) $y = x^x$ ($x \ge 0$, $0^0 = 1$ とする)

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x}{\log x}$ ($x > 0$)

* 定義域: $x > 0$ かつ $\log x \ne 0$ より、$x > 0$ かつ $x \ne 1$。したがって、$0 < x < 1$ および $x > 1$。

* 極値: まず、導関数を計算します。

$y' = \frac{\log x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

$y' = 0$ となるのは $\log x = 1$、すなわち $x = e$ のときです。

$x = e$ の前後で $y'$ の符号を調べます。

$0 < x < 1$ のとき $\log x < 0$ であり、分子の $\log x - 1$ は常に負であるため、$y' > 0$ となります。

$1 < x < e$ のとき $\log x < 1$ であり、$y' < 0$ となります。

$x > e$ のとき $\log x > 1$ であり、$y' > 0$ となります。

したがって、$x = e$ で極小値をとります。極小値は $y = \frac{e}{\log e} = e$ です。

* 漸近線: $x \to 1^{-}$ のとき $\log x \to 0^{-}$ なので、$y \to -\infty$。$x \to 1^{+}$ のとき $\log x \to 0^{+}$ なので、$y \to +\infty$。したがって、$x = 1$ は漸近線です。

また、$x \to 0^{+}$のとき$x \to 0$, $\log x \to -\infty$なので$y \to 0$

* グラフの概形：$x = 1$を漸近線とし、$x = e$で極小値$e$を取るグラフを書きます。

(2) $y = \frac{e^x}{x}$ ($x \ne 0$)

* 定義域: $x \ne 0$。

* 極値: 導関数を計算します。

$y' = \frac{e^x \cdot x - e^x}{x^2} = \frac{e^x (x - 1)}{x^2}$

$y' = 0$ となるのは $x = 1$ のときです。

$x = 1$ の前後で $y'$ の符号を調べます。

$x < 0$ のとき $x-1 < 0$、$e^x > 0$、$x^2 > 0$ なので、$y' < 0$。

$0 < x < 1$ のとき $x-1 < 0$、$e^x > 0$、$x^2 > 0$ なので、$y' < 0$。

$x > 1$ のとき $x-1 > 0$、$e^x > 0$、$x^2 > 0$ なので、$y' > 0$。

したがって、$x = 1$ で極小値をとります。極小値は $y = \frac{e^1}{1} = e$ です。

* 漸近線: $x \to 0^{+}$ のとき $y \to +\infty$。$x \to 0^{-}$ のとき $y \to -\infty$。したがって、$x = 0$ は漸近線です。また、$x \to -\infty$のとき$y \to 0$

* グラフの概形：$x = 0$を漸近線とし、$x = 1$で極小値$e$を取るグラフを書きます。

(3) $y = x^x$ ($x \ge 0$, $0^0 = 1$ とする)

* 定義域: $x \ge 0$。

* 極値: まず、両辺の対数を取ります。

$\log y = x \log x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \cdot y' = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$y' = y (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

$y' = 0$ となるのは $\log x = -1$、すなわち $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ のときです。

$x = \frac{1}{e}$ の前後で $y'$ の符号を調べます。

$0 < x < \frac{1}{e}$ のとき $\log x < -1$ なので、$y' < 0$。

$x > \frac{1}{e}$ のとき $\log x > -1$ なので、$y' > 0$。

したがって、$x = \frac{1}{e}$ で極小値をとります。極小値は $y = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}} = e^{-\frac{1}{e}}$ です。

* $x=0$のとき、$y = 0^0 = 1$である。

* グラフの概形：$x = \frac{1}{e}$で極小値$e^{-\frac{1}{e}}$を取り、$x=0$で$y=1$を通るグラフを書きます。

3. 最終的な答え

グラフは紙に描く必要があるため、ここでは記述しません。上記の解き方の手順を参考に、それぞれのグラフを描いてください。