与えられた積分 $\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を2つに分割します。

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{x}{1 + \cos x} dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$

次に、$\int \frac{x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ なので、

$\int \frac{x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{x}{\cos^2 \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} dx$

部分積分を使って、$\int x \sec^2 \frac{x}{2} dx$ を計算します。

$u = x$, $dv = \sec^2 \frac{x}{2} dx$ とすると、

$du = dx$, $v = 2 \tan \frac{x}{2}$ となります。

$\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int x \sec^2 \frac{x}{2} dx = 2x \tan \frac{x}{2} - \int 2 \tan \frac{x}{2} dx = 2x \tan \frac{x}{2} - 2 \int \tan \frac{x}{2} dx$

$\int \tan \frac{x}{2} dx = \int \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} dx = -2 \ln |\cos \frac{x}{2}|$

したがって、$\int x \sec^2 \frac{x}{2} dx = 2x \tan \frac{x}{2} + 4 \ln |\cos \frac{x}{2}|$

よって、$\frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} dx = x \tan \frac{x}{2} + 2 \ln |\cos \frac{x}{2}|$

次に、$\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

$u = 1 + \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$ となります。

したがって、$\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{-1}{u} du = - \ln |u| = - \ln |1 + \cos x|$

$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ なので、$- \ln |1 + \cos x| = - \ln |2 \cos^2 \frac{x}{2}| = - \ln 2 - 2 \ln |\cos \frac{x}{2}|$

したがって、

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = x \tan \frac{x}{2} + 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| - \ln |1 + \cos x| + C = x \tan \frac{x}{2} + 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| - \ln |2 \cos^2 \frac{x}{2}| + C$

$= x \tan \frac{x}{2} + 2 \ln |\cos \frac{x}{2}| - (\ln 2 + 2 \ln |\cos \frac{x}{2}|) + C = x \tan \frac{x}{2} - \ln 2 + C$

$-\ln 2$ は定数なので、積分定数に含めることができます。

3. 最終的な答え

$x \tan \frac{x}{2} + C$