演算子grad($\nabla$)によって形成されるベクトルは、なぜその場所での最大の傾斜方向を示すのかを説明する。

1. 問題の内容

演算子grad($\nabla$)によって形成されるベクトルは、なぜその場所での最大の傾斜方向を示すのかを説明する。

2. 解き方の手順

スカラー場 $f(x, y, z)$ を考えます。

勾配 (gradient) は、このスカラー場のもっとも急な増加方向と、その方向への変化率を表すベクトル場です。

勾配は次のように定義されます。

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}$

ここで、$\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}$ はそれぞれ $x, y, z$ 方向への偏微分を表し、$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ はそれぞれの方向への単位ベクトルを表します。

ある点 $\mathbf{r} = (x, y, z)$ における $f$ の方向微分は、単位ベクトル $\mathbf{u}$ 方向にどれだけ $f$ が変化するかを表し、次のように表されます。

$D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{r}) = \nabla f(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{u}$

ここで、$\cdot$ はドット積（内積）を表します。

ドット積の性質より、

$\nabla f(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{u} = |\nabla f(\mathbf{r})| |\mathbf{u}| \cos \theta = |\nabla f(\mathbf{r})| \cos \theta$

ここで、$|\nabla f(\mathbf{r})|$ は勾配の大きさ、$|\mathbf{u}|$ は単位ベクトルの大きさで、$1$ に等しく、$\theta$ は $\nabla f(\mathbf{r})$ と $\mathbf{u}$ のなす角を表します。

方向微分 $D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{r})$ を最大化するためには、$\cos \theta$ を最大化する必要があります。

$\cos \theta$ の最大値は $1$ で、$\theta = 0$ のときです。

これは、$\mathbf{u}$ が $\nabla f(\mathbf{r})$ と同じ方向を向いていることを意味します。

したがって、ある点 $\mathbf{r}$ において、$f$ の最大増加方向は勾配 $\nabla f(\mathbf{r})$ の方向であり、その方向への変化率は $|\nabla f(\mathbf{r})|$ で与えられます。

3. 最終的な答え

演算子gradによって形成されるベクトルは、その場所におけるスカラー場の最も急な増加方向を指し、その方向への変化率を示すため、最大の傾斜方向を示します。