与えられた積分を計算する問題です。積分は次の通りです。 $\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$ ただし、$x > 1$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。積分は次の通りです。

$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$ ただし、$x > 1$

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算するために、以下の手順で進めます。

まず、被積分関数を簡略化するために、$x = \cosh{u}$ と置換します。すると、$dx = \sinh{u} du$となります。

この置換により、

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{\cosh{u}-1}{\cosh{u}+1} = \frac{2\sinh^2(u/2)}{2\cosh^2(u/2)} = \tanh^2(u/2)$

となります。したがって、

$\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} = \sqrt{\tanh^2(u/2)} = \tanh(u/2)$

となります。$x > 1$ より、$u > 0$なので、$\tanh(u/2) > 0$です。

元の積分は次のようになります。

$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx = \int \tanh(u/2) \sinh{u} du = \int \tanh(u/2) 2\sinh(u/2)\cosh(u/2) du = \int 2 \sinh^2(u/2) du$

ここで$\sinh^2(u/2) = \frac{\cosh{u}-1}{2}$を使うと、

$\int 2 \sinh^2(u/2) du = \int (\cosh{u}-1) du = \sinh{u} - u + C$

となります。ここで、$\sinh{u} = \sqrt{\cosh^2{u} - 1} = \sqrt{x^2 - 1}$なので、

$\sinh{u} - u = \sqrt{x^2-1} - \cosh^{-1}(x) + C = \sqrt{x^2-1} - \ln(x + \sqrt{x^2-1}) + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{x^2-1} - \ln(x + \sqrt{x^2-1}) + C$