2つの関数 $y = -x^2 + 2$ と $y = x^2 - 4x + 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。与えられた手順に従って、積分計算を行い、最終的な面積を計算します。

1. 問題の内容

2つの関数 $y = -x^2 + 2$ と $y = x^2 - 4x + 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。与えられた手順に従って、積分計算を行い、最終的な面積を計算します。

2. 解き方の手順

まず、2つの関数の大小関係を $0 \leq x \leq 2$ の範囲で確認します。$y = -x^2 + 2$ が $y = x^2 - 4x + 2$ より大きいので、⑥には1、⑦には2が入ります。

次に、面積$S$を計算するための積分を設定します。積分範囲は $0$ から $2$ で、被積分関数は $(-x^2 + 2) - (x^2 - 4x + 2)$ となります。したがって、⑩には1、⑪には2が入ります。

$S = \int_0^2 [(-x^2 + 2) - (x^2 - 4x + 2)] dx$

$S = \int_0^2 (-2x^2 + 4x) dx$

積分を実行します。

$S = [-\frac{2}{3}x^3 + 2x^2]_0^2$

$S = (-\frac{2}{3}(2)^3 + 2(2)^2) - (-\frac{2}{3}(0)^3 + 2(0)^2)$

$S = (-\frac{16}{3} + 8) - (0)$

$S = -\frac{16}{3} + \frac{24}{3}$

$S = \frac{8}{3}$

したがって、⑫には8が入ります。

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$