$x>0$ のとき、関数 $y=\frac{1}{x^2}$、$y=x$、$y=\frac{1}{8}x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。問題文に面積 $S$ の計算式が、$S = \int_0^1 \boxed{13} dx + \int_1^2 \boxed{14} dx - \int_0^2 \boxed{15} dx$ と示されています。

1. 問題の内容

$x>0$ のとき、関数 $y=\frac{1}{x^2}$、$y=x$、$y=\frac{1}{8}x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。問題文に面積 $S$ の計算式が、$S = \int_0^1 \boxed{13} dx + \int_1^2 \boxed{14} dx - \int_0^2 \boxed{15} dx$ と示されています。

2. 解き方の手順

まず、積分区間を決定するために、各関数の交点を求めます。

* $y=\frac{1}{x^2}$ と $y=x$ の交点:

$\frac{1}{x^2} = x$ より、$x^3 = 1$。したがって、$x=1$。

交点の座標は $(1, 1)$。

* $y=\frac{1}{x^2}$ と $y=\frac{1}{8}x$ の交点:

$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{8}x$ より、$x^3 = 8$。したがって、$x=2$。

交点の座標は $(2, \frac{1}{4})$。

* $y=x$ と $y=\frac{1}{8}x$ の交点:

$x = \frac{1}{8}x$ より、$x = 0$。

交点の座標は $(0, 0)$。

したがって、積分区間は $0 \le x \le 2$ であり、以下の様に積分を計算する。

区間 $[0, 1]$ では、$x \ge \frac{1}{8}x$ かつ $x \ge \frac{1}{x^2}$ であるので、$x - \frac{1}{8}x$ を積分する。

区間 $[1, 2]$ では、$\frac{1}{x^2} \ge \frac{1}{8}x$ かつ $\frac{1}{x^2} \ge x$ であるので、$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{8}x$ を積分する。

よって、与えられた積分記号の中身はそれぞれ、

$\boxed{13}$ は、$x - \frac{1}{8}x = \frac{7}{8}x$

$\boxed{14}$ は、$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{8}x$

$\boxed{15}$ は、$x$。

したがって、面積 $S$ は次のようになります。

$S = \int_0^1 \frac{7}{8}x \, dx + \int_1^2 \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{8}x \right) \, dx - \int_0^2 \frac{1}{8}x \, dx$

$S = \left[ \frac{7}{16}x^2 \right]_0^1 + \left[ -\frac{1}{x} - \frac{1}{16}x^2 \right]_1^2 - \left[ \frac{1}{16}x^2 \right]_0^2$

$S = \left( \frac{7}{16} - 0 \right) + \left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \left( -1 - \frac{1}{16} \right) \right) - \left( \frac{1}{4} - 0 \right)$

$S = \frac{7}{16} + \left( -\frac{3}{4} + 1 + \frac{1}{16} \right) - \frac{1}{4}$

$S = \frac{7}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{4}$

$S = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$