(1)不定積分 $\int (6x^2 + 6x + 6) dx$ を計算し、結果を $\boxed{1}x^3 + \boxed{2}x^2 + \boxed{3}x + C$ の形で表す時の $\boxed{1}$、$\boxed{2}$、$\boxed{3}$ に当てはまる数値を求める。 (2)定積分 $\int_{-1}^{2} (3x+1)(x-2) dx$ を計算し、結果を $-\frac{\boxed{5}}{\boxed{4}}$ の形で表す時の $\boxed{4}$、$\boxed{5}$ に当てはまる数値を求める。

1. 問題の内容

(1)不定積分 $\int (6x^2 + 6x + 6) dx$ を計算し、結果を $\boxed{1}x^3 + \boxed{2}x^2 + \boxed{3}x + C$ の形で表す時の $\boxed{1}$、$\boxed{2}$、$\boxed{3}$ に当てはまる数値を求める。

(2)定積分 $\int_{-1}^{2} (3x+1)(x-2) dx$ を計算し、結果を $-\frac{\boxed{5}}{\boxed{4}}$ の形で表す時の $\boxed{4}$、$\boxed{5}$ に当てはまる数値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\int (6x^2 + 6x + 6) dx$ を計算する。

積分は、各項ごとに計算できる。

$\int 6x^2 dx = 6 \int x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = 2x^3 + C_1$

$\int 6x dx = 6 \int x dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = 3x^2 + C_2$

$\int 6 dx = 6x + C_3$

よって、

$\int (6x^2 + 6x + 6) dx = 2x^3 + 3x^2 + 6x + C$ (ただし、$C = C_1 + C_2 + C_3$)

したがって、$\boxed{1}=2$, $\boxed{2}=3$, $\boxed{3}=6$。

(2)

$\int_{-1}^{2} (3x+1)(x-2) dx$ を計算する。

まず、積分の中身を展開する。

$(3x+1)(x-2) = 3x^2 - 6x + x - 2 = 3x^2 - 5x - 2$

よって、

$\int_{-1}^{2} (3x+1)(x-2) dx = \int_{-1}^{2} (3x^2 - 5x - 2) dx$

次に、定積分を計算する。

$\int (3x^2 - 5x - 2) dx = 3 \int x^2 dx - 5 \int x dx - 2 \int dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 5 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x + C = x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 2x + C$

定積分は、

$[x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 2x]_{-1}^{2} = (2^3 - \frac{5}{2} \cdot 2^2 - 2 \cdot 2) - ((-1)^3 - \frac{5}{2} \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1)) = (8 - 10 - 4) - (-1 - \frac{5}{2} + 2) = -6 - (\frac{-2-5+4}{2}) = -6 - (-\frac{3}{2}) = -6 + \frac{3}{2} = \frac{-12+3}{2} = -\frac{9}{2}$

結果は $-\frac{9}{2}$ なので、$-\frac{\boxed{5}}{\boxed{4}}$ の形にするには、$\boxed{5}=9$, $\boxed{4}=2$。

3. 最終的な答え

(1) $\boxed{1}=2$, $\boxed{2}=3$, $\boxed{3}=6$

(2) $\boxed{4}=2$, $\boxed{5}=9$