以下の3つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{x^{10}}{x^3} dx$ (2) $\int \sqrt[3]{x^{-4}} dx$ (3) $\int \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{x^{10}}{x^3} dx$

(2) $\int \sqrt[3]{x^{-4}} dx$

(3) $\int \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x^{10}}{x^3} dx$

まず、被積分関数を簡略化します。

$\frac{x^{10}}{x^3} = x^{10-3} = x^7$

したがって、

$\int \frac{x^{10}}{x^3} dx = \int x^7 dx$

べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$) を用いると、

$\int x^7 dx = \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = \frac{x^8}{8} + C$

(2) $\int \sqrt[3]{x^{-4}} dx$

まず、被積分関数を指数表記で書き換えます。

$\sqrt[3]{x^{-4}} = (x^{-4})^{\frac{1}{3}} = x^{-\frac{4}{3}}$

したがって、

$\int \sqrt[3]{x^{-4}} dx = \int x^{-\frac{4}{3}} dx$

べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$) を用いると、

$\int x^{-\frac{4}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1} + C = \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C = -3x^{-\frac{1}{3}} + C = -\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$

(3) $\int \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$

まず、被積分関数を簡略化します。

$\frac{x}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{1-\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}}$

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx = \int x^{\frac{2}{3}} dx$

べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$) を用いると、

$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5} \sqrt[3]{x^5} + C = \frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^8}{8} + C$

(2) $-\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$

(3) $\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2} + C$