以下の4つの積分を計算します。 (1) $\int \frac{3}{x+4} dx$ (2) $\int \frac{1}{3x-6} dx$ (3) $\int (3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3}) dx$ (4) $\int \frac{x^3 - x + 2}{x^2} dx$

## 問題の解答

1. 問題の内容

以下の4つの積分を計算します。

(1) $\int \frac{3}{x+4} dx$

(2) $\int \frac{1}{3x-6} dx$

(3) $\int (3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3}) dx$

(4) $\int \frac{x^3 - x + 2}{x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{3}{x+4} dx$

置換積分を行います。$u = x + 4$ とおくと、$du = dx$ となります。

よって、

$\int \frac{3}{x+4} dx = \int \frac{3}{u} du = 3 \int \frac{1}{u} du = 3 \ln|u| + C = 3 \ln|x+4| + C$

(2) $\int \frac{1}{3x-6} dx$

置換積分を行います。$u = 3x - 6$ とおくと、$du = 3 dx$ となり、$dx = \frac{1}{3} du$ となります。

よって、

$\int \frac{1}{3x-6} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln|u| + C = \frac{1}{3} \ln|3x-6| + C$

(3) $\int (3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3}) dx$

各項を個別に積分します。

$\int (3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3}) dx = \int 3x^2 dx + \int \frac{5}{x} dx - \int \frac{2}{x^3} dx$

$= 3 \int x^2 dx + 5 \int \frac{1}{x} dx - 2 \int x^{-3} dx$

$= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 5 \ln|x| - 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = x^3 + 5 \ln|x| + \frac{1}{x^2} + C$

(4) $\int \frac{x^3 - x + 2}{x^2} dx$

まず、被積分関数を簡略化します。

$\frac{x^3 - x + 2}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}$

よって、

$\int \frac{x^3 - x + 2}{x^2} dx = \int (x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}) dx = \int x dx - \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{2}{x^2} dx$

$= \int x dx - \int \frac{1}{x} dx + 2 \int x^{-2} dx$

$= \frac{x^2}{2} - \ln|x| + 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{x^2}{2} - \ln|x| - \frac{2}{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $3 \ln|x+4| + C$

(2) $\frac{1}{3} \ln|3x-6| + C$

(3) $x^3 + 5 \ln|x| + \frac{1}{x^2} + C$

(4) $\frac{x^2}{2} - \ln|x| - \frac{2}{x} + C$