$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を繰り返し適用します。

まず、$x \to 0$ のとき、$x - \sin x \to 0$ かつ $x^3 \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ です。

したがって、ロピタルの定理を適用できます。

1回目：

$\frac{d}{dx}(x - \sin x) = 1 - \cos x$

$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2}$

$x \to 0$ のとき、$1 - \cos x \to 0$ かつ $3x^2 \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ です。

したがって、再びロピタルの定理を適用できます。

2回目：

$\frac{d}{dx}(1 - \cos x) = \sin x$

$\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x}$

$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$ かつ $6x \to 0$ なので、不定形 $\frac{0}{0}$ です。

したがって、再びロピタルの定理を適用できます。

または、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を使うこともできます。

3回目（ロピタルの定理）：

$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

$\frac{d}{dx}(6x) = 6$

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{\cos 0}{6} = \frac{1}{6}$

または（$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$を利用）：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$