(1) $0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、方程式 $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解く。 (2) $0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、方程式 $\sin 2x + \sin x = 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) $0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、方程式 $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解く。

(2) $0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、方程式 $\sin 2x + \sin x = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $x$ を求める。$\cos x$ は、$x$ が第1象限と第4象限にあるときに正の値をとる。

$x = \frac{\pi}{4}$ は $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす。

また、$x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ も $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす。

(2)

$\sin 2x + \sin x = 0$

倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いると、

$2\sin x \cos x + \sin x = 0$

$\sin x(2\cos x + 1) = 0$

したがって、$\sin x = 0$ または $2\cos x + 1 = 0$

$\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi, 2\pi$

$2\cos x + 1 = 0$ のとき、$\cos x = -\frac{1}{2}$

$\cos x = -\frac{1}{2}$ を満たす $x$ を求める。$\cos x$ は、$x$ が第2象限と第3象限にあるときに負の値をとる。

$x = \frac{2\pi}{3}$ は $\cos x = -\frac{1}{2}$ を満たす。

また、$x = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ も $\cos x = -\frac{1}{2}$ を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(2) $x = 0, \pi, 2\pi, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$